2. 考研
  3. 设f(t)连续，区域D＝{χ，y)｜｜χ｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(χ－y)dχdy＝∫-22f(t)(2－｜t｜)dt．

设f(t)连续，区域D＝{χ，y)｜｜χ｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(χ－y)dχdy＝∫-22f(t)(2－｜t｜)dt．

admin2017-11-21  105
问题 设f(t)连续，区域D＝{χ，y)｜｜χ｜≤1，｜y｜≤1}，求证：
    f(χ－y)dχdy＝∫-22f(t)(2－｜t｜)dt．
选项
答案先将二重积分I＝[*]f(χ－y)dχdy化为累次积分 I＝∫－11dχ∫-11f(χ－y)dy． 令χ－y＝t，则 I＝－∫－11dχ∫χ＋1χ－1f(t)dt＝∫－11dχ∫χ－1χ＋1f(t)dt． 进一步化为定积分． 将I表示为 I＝[*]f(t)dχdt， 其中Dχt－1≤t≤χ＋1，－1≤χ≤1，如图所示． [*] 现交换积分次序(改为先对χ后对t积分)，分块积分得 I＝∫-20dt∫-1t+1f(t)dχ＋∫02dt∫t-11f(t)dχ ＝∫-20f(t)(t＋2)dt＋∫02f(t)(2－t)dt＝∫-22f(t)(2－｜t｜)dt．
解析
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考研数学二

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