2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明： 存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明： 存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。

admin2017-11-30  24
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(0)=f(1)=0，若f(x)在[0，1]上的最大值为M＞0。设n＞1，证明：
存在互不相同的ξ，η∈(0，1)，使得。
选项
答案在[0，c]，[c，1]上分别使用拉格朗日中值定理。已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，则存在ξ∈(0，c)和η∈(c，1)，使得 f(c)－f(0)=cf’(ξ) (1) f(1)一f(c)=(1一c)f’(η) (2) 由(1)．f’(η)+(2)．f’(ξ)，结合f(0)=f(1)=0可得， [f’(η)一f’(ξ)]f(c)=f’(ξ)f’(η)， 再由结论f(c)=[*]可知， [f’(η)一f’(ξ)][*]=f’(ξ)f’(η)， 即[*]。
解析
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考研数学二

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