设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2一α4， β4=α3+α4，β5=α2+α3． (1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)； (2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关

admin2017-08-07 97

问题设α₁，α₂，α₃，α₄线性无关，β₁=2α₁+α₃+α₄，β₂=2α₁+α₂+α₃，β₃=α₂一α₄，
β₄=α₃+α₄，β₅=α₂+α₃．
(1)求r(β₁，β₂，β₃，β₄，β₅)；
(2)求β₁，β₂，β₃，β₄，β₅的一个最大无关组．

选项

答案(1)β₁，β₂，β₃，β₄，β₅对α₁，α₂，α₃，α₄的表示矩阵为 [*] 用初等行变换化阶梯形矩阵： [*] 则r(β₁，β₂，β₃，β₄，β₅)=r(C)=3． (2)记C的列向量组为γ₁，γ₂，γ₃，γ₄，γ₅．则由(1)的计算结果知γ₁，γ₂，γ₄是线性无关的．又 (β₁，β₂，β₄)=(α₁，α₂，α₃，α₄)(γ₁，γ₂，γ₄)得到r(β₁，β₂，β₄)=r(γ₁，γ₂，γ₄)=3，β₁，β₂，β₄线性无关，是β₁，β₂，β₃，β₄，β₅的一个最大线性无关组．

解析

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设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α2+α3，β3=α2一α4， β4=α3+α4，β5=α2+α3． (1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)； (2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关

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