(Ⅰ)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使； (Ⅱ)求出(Ⅰ)中η关于x的具体函数表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时，函数η(x)的值域．

admin2020-07-03 55

问题 (Ⅰ)设0＜x＜+∞，证明存在η，0＜η＜1，使

；
(Ⅱ)求出(Ⅰ)中η关于x的具体函数表达式η=η(x)，并求出当0＜x＜+∞时，函数η(x)的值域．

选项

答案(Ⅰ)取f(x)=[*]，由拉格朗日中值定理有 f(x+1)－f(x)=f′(ξ)(x+1－x)，即 [*] 其中x＜ξ＜x+1，ξ=x+η，0＜η＜1． (Ⅱ) 由(Ⅰ)有 [*] 两边平方 x+1+x+2[*]=4(x+η)， [*] 所以η(x)在区间(0，+∞)上严格单调增加．又 [*] 所以值域为[*]

解析

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考研数学二

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