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  3. 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b，证明：A可对角化．

设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b，证明：A可对角化．

admin2022-11-08  52
问题 设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=0且a≠b，证明：A可对角化．
选项
答案由(aE-A)(bE-A)=0，得｜aE-A｜·｜bE-A｜=0，则｜aE-A｜=0或者｜bE-A｜=0．又由(aE-A)(bE-A)=0，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n．同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r[(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n．若｜aE-A｜≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE．若｜bE-A｜≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE．若｜aE-A｜=0且｜bE-A｜=0，则a，b都是矩阵A的特征值．方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个；方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个．因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)-n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学三

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