已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

admin2016-07-29 54

问题已知y₁=xe^x+e^2x，y₂=xe^x+e^一x，y₃=xe^x+e^2x—e^一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．

选项

答案y"一y’一2y=(1—2x)e^x．

解析 y₁—y₂=e^2x一e^一x，y₂一y₃=e^一x都是相应齐次方程的解．
而(y₁一y₂)+(y₁—y₃)=e^2x也是齐次方程的解，e^2x与e^一x是两个线性无关的解，而y₂=xe^x+e^一x是非齐次方程的解，从而y₂一e^一x=xe^x也是非齐次方程的解，由e^一xe2^x是齐次方程的解，可知特征根r₁=一1，r₂=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r²一r一2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2’，=f(x)．将非齐次解xe^x代入，得
f(x)=(xe^x)^"一(xe^x)^’一2xe^x=(1—2x)e^x
故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)e^x．

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考研数学三

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