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  3. 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．

设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．

admin2017-12-23  41
问题 设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．
选项
答案AA*＝A*A＝｜A｜E． 当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜＝｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)＝n； 当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1； 当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A*＝O，故r(A*)＝0．
解析
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考研数学二

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