求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．

admin2018-08-23 74

问题求f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．

选项

答案这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy—x²一y²在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=35-+xy—x²一y²在闭区域D内部的极值：解方程组[*]得区域D内部唯一的驻点为[*]由 g(x，y)=(f"_xy)²一f"_xxf"_yy=一3 得f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D内部的极大值[*] 再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，λ)=x+xy一x²一y²+λy，解方程组[*]得可能的极值点[*]其函数值为[*] 在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为[*]最小值为0。同理可求出：在上边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左边界上的最大值为0，最小值为一4；在右边界上的最大值为[*]最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x²一y²在闭区域D上的最大值为[*]最小值为一4．

解析

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考研数学二

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