设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x12一2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为一12．用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

admin2017-10-21 81

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=ax₁²+2x₁²一2x₃²+2bx₁x₃，(b＞0)
其中A的特征值之和为1，特征值之积为一12．
用正交变换化f(x₁，x₂，x₃)为标准型．

选项

答案[*] 得A的特征值为2(二重)和一3(一重)．对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A一2E)X=0的非零解． [*] 得(A一2E)X=0的同解方程组x₁一2x₃=0，求出基础解系η₁=(0，1，0)^T，η₂=(2，0，1)^T．它们正交，单位化：α₁=η₁，α₂=[*] 方程x₁一2x₃=0的系数向量(1，0，一2)^T和η₁，η₂都正交，是属于一3的一个特征向量，单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α₁,α₂,α₃)，则 [*] 作正交变换X=QY，则它把f化为Y的二次型f=2y₁²+2y₂²一3y₃²．

解析

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考研数学三

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设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x12一2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为一12．用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

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用正交变换法化二次型f(x1+x2+x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3—4x2x3为标准二次型．

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设且A～B．(1)求a；(2)求可逆矩阵P，使得P—1AP=B．

设A为三阶矩阵，Aαi=iαi(i=1，2，3)，，求A．

设A是m×n矩阵，若ATA=0，证明：A=0．

设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．

设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为α1，α2，又λ=一2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量中是A的特征向量的是()．

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从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。

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