2. 考研
  3. 已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。 (Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ； (Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。

admin2020-01-15  81
问题 已知ζ＝(-1，2，-3)T是矩阵A＝的一个特征向量。
(Ⅰ)试确定参数a，b以及ζ所对应的特征值λ；
(Ⅱ)A能否对角化，如果能，试求可逆矩阵P，使得A相似于对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)A的特征向量ζ对应的特征值为λ，则Aζ＝λζ，即 [*]， 得方程组[*] 解得a＝﹣1，b＝4，λ＝6。 (Ⅱ)根据a＝﹣1，b＝4可得矩阵A＝[*]， 则 [*]， 由矩阵A的特征值分别为λ1＝6，λ2＝2(二重)。 当λ＝6时，(6E－A)x＝[*]＝0， 解得特征向量为ζ1＝[*]； 当λ＝2时，(2E-A)x＝[*]＝0， 解得特征向量为ζ2＝[*]，ζ3＝[*]。 令P＝(ζ1，ζ2，ζ3)＝[*]， 则有P﹣1AP＝[*]。
解析
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考研数学二

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