已知函数f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)，则方程f’(x)=0有______个实根( )

admin2014-10-22 54

问题已知函数f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)，则方程f’(x)=0有______个实根( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案C

解析由于f(一4)=f(-3)=f(-2)=f(一1)=0，由罗尔定理，至少存在一个ζ₁∈(一4，一3)，使得f’(ζ₁)=0，即ζ₁是方程f’(x)=0的根，同理可得，至少存在一个ζ₂∈(一3，一2)，使得f’(ζ₂)=0，即ζ₂是方程f’(x)=0的根，至少存在一个ζ₃∈(-2，-1)，使得f’(ζ₃)=0，即ζ₃也是方程f’(x)=0的根，故方程f’(x)=0至少有三个根；又f(x)是四次函数，故f’(x)=0是三次方程，最多有三个根，综上所述，选项(C)正确．

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