(2004年试题，三(5))设e

admin2019-03-21 79

问题 (2004年试题，三(5))设e2，证明In²b—In²a>

．

选项

答案由题设所给待证不等式的结构形式，可引入辅助函数[*]显然当x>e时f^’(x)<0，即f^’(x)严格单调递减，x∈(x,+∞)，所以当e2时[*]因此当e2时，f(x)严格单调递增，即f(a)2b-In²a>[*]

解析本题也可应用拉格朗日中值定理来证明．设g(x)=In²x，在[a，b]上由拉格朗日中值定理知：存在一点ξ∈(a，b)，使得g(b)一g(a)=g^’(ξ)(b—a)，即In²b—In²a=

又设

，当x>e时φ^’(x)<0，即φ(x)严格单调递减，也即当e2时，

综上知

，所以ln²b一ln²a=2φ(ξ)(b一a)>

即ln²b一ln²a

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