已知(x－1)y"－xy’+y=0的一个解是y1=x，又知y=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．

admin2019-07-17 60

问题已知(x－1)y"－xy’+y=0的一个解是y₁=x，又知y=e^x－(x²+x+1)，y^*=－x²－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)²的解，则此方程的通解是y=________．

选项

答案C₁x+C₂e^x－x²－1

解析由非齐次方程(x－1)y"－xy’+y=(x－1)²的两个特解

与y^*可得它的相应齐次方程的另一特解

－y^*=e^x－x，事实上y ₂=(e^x－x)+x=e^x也是该齐次方程的解，又e^x与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C₁x+C₂e^x－x²－1，其中C₁，C₂为任意常数．

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