2. 考研
  3. 设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．

admin2019-11-25  104
问题 设y＝y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值．
选项
答案因为曲线是上凸的，所以y”＜0，由题设得 [*]＝－1． 令y’＝p，y”＝[*]，则有[*]＝－(1＋p)[*]arctanp＝C1－x． 因为曲线y＝y(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝x＋1，所以P｜x＝0＝1， 从而y’＝tan([*]－x)，积分得y＝ln｜cos([*]－x)｜＋C2． 因为曲线过点(0，1)，所以C2＝1＋[*]， 所求曲线为y＝lncos([*]－x)＋1＋[*]，x∈(－[*])． 因为cos([*]－x)≤1，所以当x＝[*]时函数取得极大值1＋[*]．
解析
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考研数学三

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