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平面上有n个圆,其中每两个圆相交于两点,且每三个圆都不相交于一点,用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数.已知厂(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,f(4)=14,…试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
平面上有n个圆,其中每两个圆相交于两点,且每三个圆都不相交于一点,用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数.已知厂(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,f(4)=14,…试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
admin
2016-03-25
85
问题
平面上有n个圆,其中每两个圆相交于两点,且每三个圆都不相交于一点,用f(n)表示n个圆把平面分成的部分个数.已知厂(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,f(4)=14,…试猜想f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
选项
答案
猜想f(n)=n
2
-n+2. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,f(1)=1
2
-1+2=2,成立. (2)假设当n=k时,命题成立,即f(k)=k
2
-k+2.当n=k+1时,可知前k个圆把平面分成k
2
-k+2个部分,第k+1个圆与前尼个圆有2k个交点,也就是说第k+1个圆被这k个圆分成了2k条弧,这2k条孤中的每一条把所在的部分分成了2个部分,故共增加了2k个部分,所以f(k+1)=k
2
-k+2+2k=k
2
+2k+1-k-1+2=(k+1)
2
-(k+1)+2,即当n=k+1时,命题也成立. 综上所述,f(n)=n
2
-n+2成立.
解析
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