设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤1/2ln2．

admin2022-10-25 73

问题设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫₀¹f(x)dx｜≤1/2ln2．

选项

答案由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜≤｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-π/4｜得｜∫₀¹f(x)dx｜≤∫₀¹｜f(x)｜dx≤∫₀¹｜arctanx-π/4｜dx=∫₀¹(π/4-arctanx)dx=π/4-∫₀¹arctanxdx=π/4-xarctanx｜₀¹+∫₀¹x/(1+x²)dx=1/2ln(1+x²)｜₀¹=1/2ln2．

解析

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考研数学三

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