2. 公务员
  3. 对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项a5． 在

对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项a5． 在

admin2018-12-31  71
问题 对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项a1，第三项a3和第五项a5．
在a1=1，d=3的无穷等差数列{an}中，是否存在无穷子数列{bn}，使得数列{bn}为首项为a1公比为4的等比数列?若存在，请给出数列{bn}的通项公式并证明；若不存在，说明理由．
选项
答案由题意可得，此时原无穷等差数列的通项公式为an=3n—2， 设存在数列{bn}满足条件，则其通项公式为bn=a1qn—1=4n—1， 又因为数列{bn}是数列{an}的子数列，故数列{bn}中的每一项都应符合数列{an}的通项公式， 故4k—1=3n—2，即n=[*](k∈N+)． 又因为n∈N+，故原题目转化为证明对于[*]∈N+，4k—1+2均能被3整除， 当k=1时，4k—1+2=1+2=3，能被3整除， 当k≥2，且k∈N+时， 4k—1+2=(3+1)k—1+2 =Ck—10.3k—1+Ck—11.3k—2+ … +Ck—1k—2.3+Ck—1k—1+2 =3P+1+2 =3P+3(P∈N+) 所以4k—1+2能被3整除， 故对于[*]∈N+，4k—1+2均能被3整除． 所以无穷数列{bn}是无穷数列{an}的子数列． 所以在a1=1，d=3的无穷等差数列{an}中，存在无穷子数列{bn}，使得数列{bn}为首项为a1，公比为4的等比数列．
解析
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