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  3. 设函数f(x)在[0，1]上连续，并且对于[0，1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．

设函数f(x)在[0，1]上连续，并且对于[0，1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．

admin2015-04-07  39
问题 设函数f(x)在[0，1]上连续，并且对于[0，1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1，证明：在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．
选项
答案令F(x)=f(x)－x，由于f(x)在[0，1]上连续，故F(x)在[0，1]上也连续．F(0)=f(0)－0=f(0)，F(1)=f(1)－1．而对[*]x∈[0，1]，0≤f(x)≤1，故F(0)≥0，F(1)≤0． 若F(0)=0，即f(0)－0=0，f(0)=0，则ξ=0； 若F(1)=0，即f(1)－1=0，f(1)=1，则ξ=1； 当F(0)≠0，F(1)≠0时， F(0).F(1)<0，而F(x)在[0，1]上连续，故根据零点定理百得，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)－ξ=0，f(ξ)=ξ． 综上，在[0，1]上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=ξ．
解析
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