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设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0， F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0． 由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续
设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0， F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0． 由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续
admin
2015-12-22
22
问题
设函数F(x，y)在(x
0
，y
0
)的某邻域有连续的二阶偏导数，且
F(x
0
，y
0
)=F′
x
(x
0
，y
0
)=0， F′
y
(x
0
，y
0
)＞0，F″
xx
(x
0
，y
0
)＜0．
由方程F(x，y)=0在x
0
的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x
0
)=y
0
，则( )．
选项
A、y(x)以x=x
0
为极大值点
B、y(x)以x=x
0
为极小值点
C、y(x)在x=x
0
不取极值
D、(x
0
，y(x
0
))是曲线y=y(x)的拐点
答案
B
解析
利用隐函数的求导法则及已知条件，如能证明y′(x
0
)=0，y″(x
0
)＞0，则x
0
为y(x)的极小值点．
解 按隐函数求导法知，y′(x)满足
令x=x
0
，相应地y=y
0
，因
F′
x
(x
0
，y
0
)=0，
F′
y
(x
0
，y
0
)＞0，
故y′(x
0
)=0．将上式再对x求导，并注意y=y(x)，即得
再令x=x
0
，相应地y=y
0
．由y′(x
0
)=0，F′
y
(x
0
，y
0
)＞0，得到
因
得y″(x
0
)＞0．因此，x=x
0
是y=y(x)的极小值点．
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考研数学二
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