2. 考研
  3. 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v1体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．

设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v1体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．

admin2019-01-25  44
问题 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上点(0，0，z)(0≤z ≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v1体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．[img][/img]
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
选项
答案由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫0z(t)S(z)dz， 其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z2+(1一z)2]． 现由[*] 及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得 [*] 这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=v0dt，即[z2+(1一z)2]dz=[*] (*) 两边积分并注意z(0)=0，得 [*] (**)
解析
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考研数学一

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