设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。

admin2015-09-14 66

问题设矩阵A、B的行数都是m，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。

选项

答案设B、X按列分块分别为B=[b₁b₂…b_p]。X=[x₁x₂…x_p]，则AX=B，[*][Ax₁Ax₂…Ax_p]=[b₁b₂…b_p][*]Ax_j=b_j(j=1，2，…，p)，故AX=B有解[*]Ax_j=b_j(j=1，2，…，p)有解，故由非齐次线性方程组Ax_j=b_j有解的充要条件可知，AX=B有解[*]r(A)=r(A|b_j)(j=1，2，…，p)[*]r(A)=r[Ab₁b₂…b_p]=r[A|B]。

解析

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考研数学三

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