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考研
计算行列式Dn＝，其中a1a2…an≠0．
计算行列式Dn＝，其中a1a2…an≠0．
admin
2020-06-05
44
问题
计算行列式D
n
＝
，其中a
1
a
2
…a
n
≠0．
选项
答案
方法一 (拆分法、递推法) [*] 在上式右端的第一个行列式中，第i(1≤i≤n－1)行减去第n行，则得该行列式的值为 a
1
a
2
…a
n－1
；在上式右端第二个行列式中，按最后一列展开，即可知该行列式的值等于a
n
D
n－1
．于是，有D
n
＝a
n
D
n－1
＋a
1
a
2
…a
n－1
，此即为递推公式，其归纳基础为D
1
＝1＋a
1
，于是 D
n
＝a
n
D
n－1
＋a
1
a
2
…a
n－1
＝a
1
a
2
…a
n
[*] ＝a
1
a
2
…a
n
[*]＝… ＝a
1
a
2
…a
n
[*] 方法二 (降阶法) [*] ＝(1＋a
n
)a
1
a
2
…a
n－1
＋a
1
a
2
…a
n－3
a
n－2
a
n
＋…＋a
2
a
3
…a
n
[*] 方法三 (加边法) [*] 方法四 [*] 方法五 (数学归纳法) 当n＝1时， D
1
＝1+a
1
＝a
1
(1+[*]) 当n＝2时， D
2
＝[*]＝a
1
a
2
＋a
1
＋a
2
＝a
1
a
2
[*] 假设n＝k时，有 D
k
＝a
1
a
2
…a
k
[*] 那么，当n＝k＋1时，类似方法一的推导递推公式，得到 D
k+1
＝a
1
a
2
…a
k1
＋a
k+1
D
k
＝a
1
a
2
…a
k
＋a
k+1
a
1
a
2
…a
k
[*] ＝a
1
a
2
…a
k＋1
[*] ＝a
1
a
2
…a
k＋1
[*] 因此对于一切正整数n，有D
n
＝a
1
a
2
…a
n
[*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/pAv4777K
0
考研数学一
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