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设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得 .
设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得 .
admin
2014-12-09
48
问题
设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得
.
选项
答案
令F(χ)=∫
a
χ
f(t)dt,则F′=f(χ),且F〞′(χ∈)C[a,b],由勒公式得 [*]. 两式相减,得F(b)-F(a)=(b-a)f[*]. 因为f〞(χ)∈C[a,b],所以f〞(χ)∈C[ξ
1
,ξ
2
],由闭区间上连续函数最值定理f〞(χ)在区间[ξ
1
,ξ
2
]上取得最小和最大值,分别记为m,M,则有m≤[*]≤M 再由闭区间上连续函数的介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得f〞(ξ)=[*],从而有[*].
解析
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考研数学二
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