设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，X3，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，试求： (Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量； (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

admin2017-11-30 40

问题设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X₁，X₂，X₃，…，X_n是取自总体X的一个简单随机样本，试求：
(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量

；
(Ⅱ)

是否为θ的无偏估计量，为什么?

选项

答案(Ⅰ)似然函数 [*] 由于函数L在θ＝[*]处间断，当θ＜[*]时，函数L＝0。当θ≥[*]时，L＝[*]＞0是θ的单调减函数，因此当θ＝[*]时，L达到最大值，于是θ的最大似然估计量为[*]。 (Ⅱ)为求[*]的期望值，先求[*]的分布。由于总体X服从[0，θ]上的均匀分布，因此X_i(i：1，…，n)也服从[0，θ]上的均匀分布。其分布函数为 [*] 概率密度为 [*] 记[*]的分布函数为G(χ)，密度函数为g(χ)，则当χ＜0时，G(χ)＝0；当χ＞θ时，G(χ)＝1；当0≤χ≤θ时， [*] 由于X₁，…，X_n相互独立，于是有 [*] 通过计算看出[*]不是参数θ的无偏估计量。

解析

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考研数学一

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设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，X3，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，试求： (Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量； (Ⅱ)是否为θ的无偏估计量，为什么?

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