已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明至少存在一点x0∈(-∞，+∞)，使f(x0)=x0．

admin2022-06-04 78

问题已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明至少存在一点x₀∈(-∞，+∞)，使f(x₀)=x₀．

选项

答案用反证法，设在(-∞，+∞)内恒有f(x)-x＞0．由于x的任意性，以f(x)代替其中的x，有f[f(x)]＞f(x)＞x．这与f[f(x)]=x矛盾．同理，如果在(-∞，+∞)内恒有f(x)-x＜0，亦矛盾．因此，必有点x₁，使f(x₁)-x₁≤0，且有点x₂，使f(x₂)-x₂≥0．若上式可以取等号，则证毕．设上式都不取等号，即有 f(x₁)-x₁＜0，f(x₂)-x₂＞0 由连续函数的零点定理得，至少存在一点x₀∈(-∞，+∞)使f(x₀)=x₀．

解析

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