平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这条直线的方程．

admin2017-04-26 115

问题平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这条直线的方程．

选项

答案解设所求直线为l，其斜率为k，为使l在两坐标轴上的截距均大于零，所以k＜0，则直线l的方程为y一4=k(x一1)，它在x轴上的截距为1一[*]，在y轴上的截距为4一k，故两截距之和 S(k)=1一[*]+4一k=5一k一[*](k＜0)， S^’(k)=一1+[*]，S^’’(k)=[*](k＜0)，令S^’(k)=0，得驻点k=一2(k=2舍去)，且S^’’(一2)=1＞0，所以S(一2)为极小值，因此S(k)只有

解析解题关键在于列出S(k)的表达式，用到了平面几何的一些知识，如直线方程和斜率、截距等，解S^’(k)=0只有唯一的驻点，由实际意义知最小值存在，可以不必求S^’’(－2)＞0，即可判定S(-2)为最小值．

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平面上通过一个已知点P(1，4)引一条直线，要使它在两个坐标轴上的截距均大于零，且它们的和为最小，求这条直线的方程．

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