2. 考研
  3. 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x→a的n－1阶无穷小．

设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x→a的n－1阶无穷小．

admin2018-06-15  57
问题 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x→a的n－1阶无穷小．
选项
答案f(x)在x=a可展开成 f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+[*]f"(a)(x－a)2+… +[*]f(n)(a)(x－a)n+o((x－a)n)(x→a)． 由x→a时f(x)是(x－a)的／1,阶无穷小[*] f(a)=f’(a)=…=f(n－1)(a)=0，f(n)(a)≠0． 又f(x)在x=a邻域n1阶可导，f(n－1)(x)在x=a可导． 证明由g(x)=f’(x)在x=a处n－1阶可导[*] g(x)=g(a)+g’(a)(x－a)+…+[*]g(n－1)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)， 即f’(x)=f’(a)+f"(a)(x－a)+…+[*]f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1) =[*]f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)． 因此f’(x)是x－a的n－1阶无穷小(x→a)．
解析
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考研数学一

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