已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，如AB=C，且r(C)=m，证明A的行向量线性无关．

admin2018-06-27 83

问题已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，如AB=C，且r(C)=m，证明A的行向量线性无关．

选项

答案(用定义) 对矩阵A按行分块，记A=[*]，那么A^T=(α₂^T，α₂^T，…，α_m^T)．若k₁α₁^T+k₂α₂^T+…+k_mα_m^T=0，即(α₁^T，α₂^T，…，α_m^T)[*]=0，即A^T[*]=0，那么B^TA^T[*]=0．于是C^T[*]=0．因为C是m×p矩阵，那么C^T是p×m矩阵．由于r(C^T)=r(C)=m，所以齐次方程组C^Tx=0只有零解．因此k₁=0，k₂=0，…，k_m=0．故α₁，α₂，…，α_m线性无关．

解析

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