三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为,求此二次型。

admin2020-03-16 78

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形

,且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为

,求此二次型。

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为[*],所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1,λ₃=-2,由∣A∣=λ₁λ₂λ₃=-2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=-2，μ₃=1，从而A^*+2E的特征值为0,0,3，即a₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=-2的特征向量。 [*]

解析

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考研数学二

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(2010年试题，19)设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为
(2002年)已知矩阵A＝[α1α2α3α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1＝2α2－α3．如果β＝α1＋α2＋α3＋α4，求线性方程组Aχ＝β的通解．
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已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。求正交变换x=Qy将f化为标准形。

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