已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证，在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立．

admin2016-04-13 40

问题已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，试证，在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ成立．

选项

答案令F(x)=f(x)cosx，F’(x)=f’(x)cos—f(x)sin x 因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，所以F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又因为f(0)=f(1)=0，所以F(0)=F(1)=0由罗尔定理有，在(0，1)内至少存在一点ξ，使得F’(ξ)=0，即 f’(ξ)cosξ-f(ξ)sinξ=0，即f’(ξ)cosξ=f(ξ)sinξ

解析

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