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  3. 设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．

设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．

admin2016-03-16  77
问题 设函数f(χ)＝πlnχ－χsinnχdχ,其中n为正整数，试讨论方程f(χ)＝0根的个数．
选项
答案设a＝[*]sinnχdχ，由奇偶函数的定积分性质得 当n为奇数时，a＝0，f(χ)＝πlnχ，方程f(χ)＝0即lnχ＝0，此时方程f(χ)＝0有唯一实根； 当n为偶数时，a＝[*]，此时f(χ)＝πlnχ－aχ． 由于f′(χ)＝[*]－a，所以 [*] 且[*]＝－∞，所以f(χ)在点χ＝[*]处取最大值． fmax＝π[πln[*]－1]， 当n＝2，4时， fmax＝π[πln[*]－1]＜0 方程f(χ)＝0没有实根． 当n＝6，8，…时， fmax＝π[πln[*]－1]＞0 方程f(χ)＝0有两个根．
解析
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考研数学二

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