设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，且当x(1+x)≠0时，讨论f(x)的单调区间、极值．

admin2018-08-22 105

问题设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，且当x(1+x)≠0时，

讨论f(x)的单调区间、极值．

选项

答案考虑f(x)的单调性．当x≠一1且x≠0时，有 [*] 令g(x)=(1+x)ln²|1+x|—x²，有g(0)=0，并且可得 g’(x)=2ln|1+x|+ln²|1+x|一2x，有g’(0)=0， [*] 由泰勒公式，有 [*] 又g(0)=0．所以当x＞一1且x≠0时f’(x)＜0．又因f(x)在x=0处连续，所以f(x)在区间(一1，+∞)内严格单调减少．此外，由f’(x)的表达式 [*] 直接可知，当x＜一1时，分子小于0，分母亦小于0，所以f’(x)＞0．从而知f(x)在区间(一∞，一1)内严格单调增加．所以f(一1)=1是f(x)的极大值，也是唯一的极值．

解析

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