2. 考研
  3. 设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2。 证明Aα1=0。

设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2。 证明Aα1=0。

admin2021-04-02  8
问题 设A为3阶实对称矩阵，其特征值为λ1=0，λ2=λ3=1，α1，α2是A的两个不同的特征向量，且A(α1+α2)=α2。
证明Aα1=0。
选项
答案①若α1，α2都是A的属于λ1=0的特征向量，则 A(α1+α2)=Aα1+Aα2=0≠α2， 矛盾； ②若α1，α2都是A的属于λ1=λ2=1的特征向量，则 A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2≠α2， 矛盾，故α1，α2分别是A的属于不同特征值的特征向量； ③若α1是A的属于λ2=λ3=1的特征向量，α2是A的属于λ10的特征向量，则 A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+0=α1≠α2， 矛盾； ④若α1是A的属于λ1=0的特征向量，α2是A的属于λ2=λ3=1的特征向量，则 A(α1+α1)=Aα1+Aα2=0+α2=α2， 符合题意，故α1是A的属于λ1=0的特征向量，所以Aα1=0。
解析
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考研数学一

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