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  3. （2011年真题）设f(x)在[0，2]上单调连续，f(0)=1，f(2)=2，且对任意x1，x2∈[0，2]总有，g(x)是f(x)的反函数，P=∫12g(x)dx，则[ ]。

（2011年真题）设f(x)在[0，2]上单调连续，f(0)=1，f(2)=2，且对任意x1，x2∈[0，2]总有，g(x)是f(x)的反函数，P=∫12g(x)dx，则[ ]。

admin2015-04-14  81
问题 （2011年真题）设f(x)在[0，2]上单调连续，f(0)=1，f(2)=2，且对任意x1，x2∈[0，2]总有，g(x)是f(x)的反函数，P=∫12g(x)dx，则[     ]。
选项 A、3＜P＜4
B、2＜P＜3
C、1＜P＜2
D、0＜P＜1
答案D
解析 本题考查曲线凹、凸的定义，函数与反函数关系及定积分的几何意义。根据题设条件：对任意x1，x2∈[0，2]总有，可知曲线f(x)在[0，2]上是凸的，因f(x)在[0，2]上单调连续和f(0)=1，f(2)=2，所以f(x)在[0，2]上单调递增，进而f(x)＞0，x∈[0，2]，又g(x)是f(x)的反函数，因此，g(1)=0，g(2)=2，g(x)在[0，2]上是凹的，且g(x)＞0，x∈[1，2]。

如图4．10所示，曲线CD是f(x)的图形，曲线AC是g(x)的图形．由定积分的几何意义，P=∫12g(x)dx表示图4．10中曲边三角形ABC的面积，显然P=∫12g(x)dx＞0，而且P=∫12g(x)dx小于直边三角形ABC的面积，即P=∫12g(x)dx＜×1×2=1。因此有0＜P=∫12g(x)dx＜1。故正确选项为D。注特殊值代入法。取f(x)=+1，则g(x)=2(x-1)2，所以0＜P=∫12g(x)dx=∫122(x-1)2dx=
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