2. 考研
  3. 证明：若f(x)，g(x)都是可微函数，且z≥a时，∣f′(x)∣≤g′(x)，则当x≥a时，∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a)．

证明：若f(x)，g(x)都是可微函数，且z≥a时，∣f′(x)∣≤g′(x)，则当x≥a时，∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a)．

admin2015-12-22  57
问题 证明：若f(x)，g(x)都是可微函数，且z≥a时，∣f′(x)∣≤g′(x)，则当x≥a时，∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a)．
选项
答案为证g(x)一g(a)≥f(x)一f(a)，即证 g(x)一f(x)≥g(a)一f(a)． 需作辅助函数φ(x)=g(x)一f(x)，对φ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．为证 一[g(x)一g(a)]≤f(x)一f(a)， 即证 f(x)+g(x)≥f(a)+g(a)． 需作辅助函数ψ(x)=f(x)+g(x)，对ψ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理． 证 令φ(x)=g(x)一f(x)，由拉格朗日中值定理得 φ(x)一φ(a)=φ′(ξ)(x一a)， a＜ξ＜x． 当x≥a时，由于 ∣f′(x)∣≤g′(x)， 则 一g′(x)≤f′(x)≤g′(x)， 于是 φ′(ξ)=g′(ξ)一f′(ξ)≥0． 所以当x≥a时， φ(x)一φ(a)≥0， 即 g(x)一f(x)一[g(a)一f(a)]≥0， 则 g(x)一g(a)≥f(x)一f(a) (x≥a)． ① 又令ψ(x)=g(x)+f(x)，由拉格朗日中值定理得 ψ(x)一ψ(a)=ψ′(ξ)(x一a)， a＜ξ＜x． 当x≥a时，由于 ∣f′(x)∣≤g′(x)， 则 f′(x)+g′(x)≥0， 于是 ψ′(ξ)≥0． 故当x≥a时， ψ(x)一ψ(a)≥0， 即 g(x)+f(x)一[g(a)+f(a)]≥0． 所以，当x≥a时， g(x)一g(a)≥一[f(x)一f(a)]， 即 f(x)一f(a)≥一[g(x)一g(a)]． ② 综合式①、式②得 ∣f(x)一f(a)∣≤g(x)一g(a)．
解析
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考研数学二

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