2. 考研
  3. 讨论曲线y＝4lnx＋k与y＝4x＋ln4x的交点个数．

讨论曲线y＝4lnx＋k与y＝4x＋ln4x的交点个数．

admin2021-01-19  75
问题 讨论曲线y＝4lnx＋k与y＝4x＋ln4x的交点个数．
选项
答案设ψ(x)＝ln4x－4lnx＋4x－k，则有[*] 不难看出，x＝1是ψ(x)的驻点． 当0＜x＜1时，ψ’(x)＜0，即ψ(x)单调减少； 当x＞1时，ψ’(x)＞0，即ψ(x)单调增加， 故ψ(1)＝4－k为函数ψ(x)的最小值． 当k＜4，即4－k＞0时，ψ(x)＝0无实根，即两条曲线无交点； 当k＝4，即4－k＝0时，ψ(x)＝0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点； 当k＞4，即4—k＜0时，由于[*] 故ψ(x)＝0有两个实根，分别位于(0，1)与(1，＋∞)内，即两条曲线有两个交点．
解析 [分析]  问题等价于讨论方程ln4z－4lnx＋4x－k＝0有几个不同的实根，本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数(与x轴交点的个数)．
[评注]  讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标．
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考研数学二

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