设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ2)f’(ξ)arctanξ=一1．

admin2017-05-31 56

问题设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且

f(1)=ln2，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得(1+ξ²)f’(ξ)arctanξ=一1．

选项

答案令F(x)=e^f(x)arctanx．由已知条件，[*]由积分中值定理，存在点[*]于是，F(x)在[η，1]上连续，在(η，1)内可导，由洛尔定理，存在点ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得F’(ξ)=0，即(1+ξ²)f’(ξ)arctanξ=一1．

解析由

所以，可作辅助函数F(x)=e^f(x)arctanx，用洛尔定理证明．

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考研数学一

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