设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明： (Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0； (Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得ηf(η)+f’(η)=0。

admin2017-01-18 53

问题设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：
(Ⅰ)存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)+ξf’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在一点η∈(a，b)，使得ηf(η)+f’(η)=0。

选项

答案(Ⅰ)设φ(x)=xf(x)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理得存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)=0，即f(ξ)+ξf’(ξ)=0。 (Ⅱ)设F(x)=[*]，则F(x)在[a，b]连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在η∈(a，b)，使 F’(η)=[*]．η．f(η)=0，即ηf(η)+f’(η)=0。

解析

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考研数学二

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