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  3. 已知三元二次型χTAχ的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．

已知三元二次型χTAχ的秩为2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．

admin2016-05-09  51
问题 已知三元二次型χTAχ的秩为2，且

    求此二次型的表达式，并求正交变换χ＝Qy化二次型为标准形．
选项
答案二次型χTAχ的秩为2，即r(A)＝2，所以λ＝0是A的特征值． [*] 所以3是A的特征值，(1，2，1)T是与3对应的特征向量；－1也是A的特征值，(1，－1，1)T是与－1对应的特征向量． 因为实对称矩阵禾同特征值的特征向量相互正交，设λ＝0的特征向量是(χ1，χ2，χ3)T，则有 [*] 由方程组[*]解出λ＝0的特征向量是(1，0，－1)T． [*] 因此，χAχ＝[*](χ12＋10χ22＋χ32＋16χ1χ2＋2χ1χ3＋16χ2χ3)， 令[*] 则经正交坐标变换χ＝Qy，有χTAχ＝yT∧y＝3y12－y32．
解析
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考研数学一

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