设f(x)是(－∞，+∞)上连续的非负函数，且f(x) ∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

admin2023-01-06 50

问题设f(x)是(－∞，+∞)上连续的非负函数，且f(x) ∫₀^xf(x－t)dt=sin⁴x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．

选项

答案∫₀^xf(x－t)dt[*]∫_x⁰f(u)(－du)=∫₀^xf(u)du，由f(x)∫₀^xf(u)du=sin⁴x得[(∫₀^xf(u)du)²]’=2sin⁴x， (∫₀^xf(u)du)²=∫₀^x2sin⁴xdx+C，取x=0得C=0，即(∫₀^xf(u)du)²=∫₀^x2sin⁴tdt．取x=π，则(∫₀^πf(u)du)²=∫₀^π2sin⁴tdt=4[*]sin⁴tdt=[*]，从而∫₀^πf(x)dx=[*]，f(x)在[0，π]上的平均值为[*]

解析

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