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已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )
已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组( )
admin
2019-03-11
63
问题
已知向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，则向量组( )
选项
A、α
1
一α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
4
，α
4
一α
1
线性无关。
B、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
+α
1
线性无关。
C、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
线性无关。
D、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
一α
4
，α
4
一α
1
线性无关。
答案
C
解析
方法一：因向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，所以由向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
到向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
的过渡矩阵A=
，即
(α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
)=(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)A。
由于|A|=2≠0，所以过渡矩阵A可逆，因此向量组α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
一α
1
线性无关，故选C。
类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以A、B、D三项中的向量组均线性相关。
方法二：排除法
通过观察可知
(α
1
一α
2
)+(α
2
一α
3
)+(α
3
一α
4
)+(α
4
一α
1
)=0，
(α
1
+α
2
)一(α
2
+α
3
)+(α
3
+α
4
)一(α
4
+α
1
)=0，
(α
1
+α
2
)一(α
2
+α
3
)+(α
3
一α
4
)+(α
4
一α
1
)=0，
即A,B,D三项中的向量组均线性相关，故选C。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/mRP4777K
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考研数学三
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