方程x5-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点， (1)求方程x4+x3+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达。(提示：做变量替换) (2)利用(1)的结论，计算单位圆的内接正五边形的边长。

admin2015-06-14 83

问题方程x⁵-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点，
(1)求方程x⁴+x³+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达。(提示：做变量替换

)
(2)利用(1)的结论，计算单位圆的内接正五边形的边长。

选项

答案(1)由已知得x⁵-1=(x-1)(x⁴+x³+x²+x+1)=0，可得x₁=1或x⁴+x³+x²+x+1=0。 [*] 带入z可得[*]，则第一象限的根为[*] (2)在复平面内建立直角坐标系，其中单位圆方程为x²+y²=1。令其内接正五边形过点(1，0)，设其余四个顶点的坐标为(a，b)，且满足a²+b²=1。由(1)得x⁵-1=0的五个根均在单位圆上，且∣x₁x₂∣=∣x₁x₃∣=∣x₂x₄∣=∣x₄x₅∣=[*]，则这五点构成一个单位圆的内接正五边形边长为[*]

解析

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方程x5-1=0的5个根在复平面上是一个正五边形的顶点， (1)求方程x4+x3+x+1=0的四个复根中落在第一象限的那个根，要求用根式表达。(提示：做变量替换) (2)利用(1)的结论，计算单位圆的内接正五边形的边长。

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