2. 考研
  3. 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，下列命题： ①若A可逆，则B可逆； ②若A＋B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A＋B可逆； ④A－E恒可逆． 则以上命题正确的有( )个．

设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，下列命题： ①若A可逆，则B可逆； ②若A＋B可逆，则B可逆； ③若B可逆，则A＋B可逆； ④A－E恒可逆． 则以上命题正确的有( )个．

admin2019-07-10  102
问题 设A，B均为n阶矩阵，且AB＝A＋B，下列命题：
    ①若A可逆，则B可逆；
    ②若A＋B可逆，则B可逆；
    ③若B可逆，则A＋B可逆；
    ④A－E恒可逆．
    则以上命题正确的有(    )个．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 由于(A－E)B＝AB－B＝A＋B－B＝A，若A可逆，则B可逆，即①正确．
    若A＋B可逆，则｜AB｜＝｜A＋B｜≠0，则｜B｜≠0，即B可逆，②正确．
    由于A(B－E)＝B，｜A｜｜B－E｜＝｜B｜，若B可逆，则｜A｜≠0，即A可逆，从而A＋B＝AB可逆，③正确．对于④，由AB＝A＋B，可得(A－E)(B－E)＝E，故A－E恒可逆．
    故应选D．
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考研数学三

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