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  3. 已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数，且f(1)＝∫0χ函数F(χ)＝∫0χf(t)dt－χ2－1． (1)判别曲线y＝F(χ)在R上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程F(χ)＝0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．

已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数，且f(1)＝∫0χ函数F(χ)＝∫0χf(t)dt－χ2－1． (1)判别曲线y＝F(χ)在R上的凹凸性，并说明理由； (2)证明：方程F(χ)＝0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2017-03-18  55
问题 已知f(χ)是定义R上的单调递减的可导函数，且f(1)＝∫0χ函数F(χ)＝∫0χf(t)dt－χ2－1．
    (1)判别曲线y＝F(χ)在R上的凹凸性，并说明理由；
    (2)证明：方程F(χ)＝0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
选项
答案(1)∵F′(χ)＝f(χ)－2χ，F〞(χ)＝f′(χ)－2，且由题意知f′(χ)≤0(χ∈R)， ∴F〞(χ)＜0(χ∈R)， 故曲线y＝F(χ)在R上是凸的． (2)显然F(χ)在[0，1]上连续，且F(0)＝－1＜0， F(1)＝∫01f(t)dt－2＞∫012dt－2＝0， ∴方程F(χ)＝0在区间(0，1)内至少有一个实根． 由F〞(χ)＜0知F′(χ)在R上单调递减， ∴χ＜1时，有F′(χ)＞F′(1)＝f(1)－2＝0， 由此知F(χ)在(0，1)内单调递增， 因此方程F(χ)＝0在(0，1)内至多只有一个实根， 故方程F(χ)＝0在区间(0，1)内有且仅有一个实根．
解析
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