设函数f(x)连续． (1)求初值问题的解y(x)，其中a是正常数． (2)若｜f(x)｜≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤(1一e—ax)．

admin2017-07-26 108

问题设函数f(x)连续．
(1)求初值问题

的解y(x)，其中a是正常数．
(2)若｜f(x)｜≤k(k为常数)，证明：当x≥0时，有｜y(x)｜≤

(1一e^—ax)．

选项

答案(1)根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得 y(x)=e^—ax[∫f(x)e^∫adxdx+c]=e^—ax[F(x)+c]，其中c为任意常数，F(x)=∫f(x)e^axdx．因为y(0)=0，得c=一F(0)．于是， y(x)=e^—ax[F(x)一F(0)]=e^—axf(t)e^atdt． (2)由(1)问的结果，易知｜y(x)｜≤e^—ax∫₀^x｜f(x)｜e^atdt≤ke^—ax∫₀^xe^atdt=[*](1一e^—ax)．

解析

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考研数学三

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