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设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属λ1，λ2的特征向量。证明：x1+x2不是A的特征向量。
设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属λ1，λ2的特征向量。证明：x1+x2不是A的特征向量。
admin
2015-09-14
42
问题
设λ
1
，λ
2
是n阶方阵A的两个不同特征值，x
1
，x
2
分别是属λ
1
，λ
2
的特征向量。证明：x
1
+x
2
不是A的特征向量。
选项
答案
用反证法。设x
1
+x
2
为方阵A的属于特征值λ
0
，的特征向量，则有 A(x
1
+x
2
)=λ
0
(x
1
+x
2
) 或Ax
1
+Ax
2
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
由已知，有Ax
i
=λ
i
x
2
(i=1，2)，于是有 λ
1
x
1
+λ
2
x
i
=λ
0
x
1
+λ
0
x
2
即(λ
1
一λ
0
) x
1
+(λ
2
一λ
0
) x
2
=0 因为x
1
、x
2
分别是属于不同特征值的特征向量，故x
1
与x
2
线性无关，因此由上式得 λ
1
—λ
0
=0，λ
2
一λ
0
=0 于是得λ
1
=λ
0
=λ
2
，这与λ
1
≠λ
2
矛盾，所以x
1
+x
2
不是A的特征向量。
解析
本题主要考查特征值和特征向量的概念及性质。本题证明的关键是利用“属于互不相同特征值的特征向量必线性无关”这一重要性质。本题直接来证明是有困难的，用反证法就可建立x
1
和x
2
的线性关系式，从而由上述性质推出矛盾。
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/klU4777K
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考研数学三
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