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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’+(a)=>0,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’+(a)=>0,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.
admin
2017-10-19
62
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,且f(a)=f(b)=0,f’
+
(a)=
>0,试证:存在点ξ∈(a,b),使得f"(ξ)<0.
选项
答案
由题设 f’
+
(a)=[*]>0 可知,在(a,b)内至少存在一点x
0
.使f(x
0
)>0. 在[a,x
0
],[x
0
,b]上分别用拉格朗日中值定理可知:存在d∈(a,x
0
),c∈(x
0
,b).使得 [*] 于是由题设可知,f’(x)在[d,c]上连续,在(d,c)内可导. 再由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(d,c)[*](a,b),使得 [*]=f"(ξ)<0.
解析
由拉格朗日中值定理可知,要证f"(ξ)=
<0,只要证当d<c时,有f’(c)<0,f’(d)>0.只要证存在点x
0
∈(a,b),有
由题设可知,只要证f(x
0
)>0.由已知条件f’
+
(a)>0可找到这样的点x
0
.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/kiH4777K
0
考研数学三
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