2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’+(a)=＞0，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’+(a)=＞0，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．

admin2017-10-19  60
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，f’+(a)=＞0，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)＜0．
选项
答案由题设 f’+(a)=[*]＞0 可知，在(a，b)内至少存在一点x0．使f(x0)＞0． 在[a，x0]，[x0，b]上分别用拉格朗日中值定理可知：存在d∈(a，x0)，c∈(x0，b)．使得 [*] 于是由题设可知，f’(x)在[d，c]上连续，在(d，c)内可导． 再由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(d，c)[*](a，b)，使得 [*]=f"(ξ)＜0．
解析 由拉格朗日中值定理可知，要证f"(ξ)=＜0，只要证当d＜c时，有f’(c)＜0，f’(d)＞0．只要证存在点x0∈(a，b)，有

由题设可知，只要证f(x0)＞0．由已知条件f’+(a)＞0可找到这样的点x0．
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考研数学三

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