设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明： f(x)=f(1)x．

admin2022-10-31 50

问题设f在x=0连续，且对任何x，y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)．证明：
f(x)=f(1)x．

选项

答案对整数p，q(≠0)有 -f(p)=f(1+1+…+1)=f(1)+…+f(1)=pf(1)， [*] 于是对任何有理数r有f(r)=rf(1)．对任何无理数α，存在有理数列{r_n}，使得[*]r_n=α．由于在R上的连续性知， [*] 故对任何x∈R，f(x)=xf(1)．

解析

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