2. 考研
  3. 设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．

设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．

admin2017-07-28  83
问题 设a，b，c为实数，求证：曲线y=ex与y=ax2+bx+c的交点不超过三个．
选项
答案令f(x)=ex一ax2一bx—c，那么问题等价于证明f(x)的零点不超过三个．假设结论不正确，则至少有四个点x1＜x2＜x3＜x4，使得f(xi)=0，i=1，2，3，4． 由于f(x)在[x1，x4]上可导，由罗尔定理可知f’(x)在(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)内至少各有一个零点ξ1，ξ2，ξ3．又由于f’(x)在[ξ1，ξ3]上可导，由罗尔定理可知f”(x)在(ξ1，ξ2)，(ξ2，ξ3)内至少各有一个零点η1，η2．同样地，由于f”(x)在[η1，η2]上可导，由罗尔定理可知f”’(x)在(η1，η2)内至少有一个零点ζ．因此至少存在一点ζ∈(一∞，+∞)使得f”’(ζ)=0，而f”’(x)=ex＞0(x∈(一∞，+∞))，这就产生了矛盾．故f(x)的零点不超过三个．
解析
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考研数学一

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