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  3. 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2019-03-21  86
问题 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案[详解1] 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 [*]， 当a＝0时，r(A)＝1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1＋x2＋x3＋x4＝0． 由此得基础解系为 η1＝(－1，1，0，0)T， η2＝(－1，0，1，0)T， η3＝(－1，0，0，1)T， 于是所求方程组的通解为 x＝k1η1＋k2η2＋k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数． 当a≠0时， [*]， 当a＝－10时，r(A)＝3＜4，故方程组也有非零解，其同解方程组为 [*] 由此得基础解系为 η＝(1，2，3，4)T， 所以所求方程组的通解为 x＝kη，其中k为任意常数． [详解2] 方程组的系数行列式 [*] 当｜A｜＝0，即a＝0或a＝－10时，方程组有非零解． 当a＝0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为 x1＋x2＋x3＋x4＝0． 其基础解系为 η1＝(－1，1，0，0)T， η2＝(－1，0，1，0)T， η3＝(－1，0，0，1)T， 于是所求方程组的通解为 x＝k1η1＋k2η2＋k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数． 当a＝－10时，对A作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为 [*] 其基础解系为η＝(1，2，3，4)T， 所以所求方程组的通解为x＝kη，其中k为任意常数．
解析 [分析]  此题为求含参数齐次线性方程组的解．由系数行列式为0确定参数的取值，进而求方程组的非零解．   
    [评注]  化增广矩阵为阶梯形时，只能施行初等行变换，这一点是值得注意的．
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考研数学二

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